C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.6 Outros Tipos de Funções Reais.

2.6.1 Funções Implícitas.

Suponhamos temos uma equação envolvendo duas variáveis digamos x e y, do tipo f(x, y)= C onde C é uma constante real.

Geralmente esta equação podemos representar gráficamente mediante alguma curva no plano cartesiano x0y.

Pergunta: Esta curva pode ser o gráfico de uma função ? 6y Geralmente isto não acontece.

3 Pergunta: Existe um “trecho” da curva que seja possível exprimir y como função de x (ou então y como -x função de x)?; isto é podemos representar f : A ¡.

B ¡3 3 para determinados subconjuntos de números reais?.

Quando a resposta é afirmativa, diz-se que a função ?¡3 f : A ¡.

B é definida implícitamente pela equação f(x, y) = C.

Exemplo 2.63.

Seja a equação x2 +y2 =9 representada no plano cartesiano é o gráfico de uma circunferência de centro (0, 0) e raio 3 como mostra a Figura (2.31).

Observe que a circunferência não é o gráfico de uma função; mas podemos separar em "trechos"o domínio dessa relação para obter y como função de x.

v

2

i) A função f :[¡3, 3] ¡.

R definida por f(x)= 9 - xcujo gráfico é a semicircunferência superior ao eixo 0x.

v

ii) A função f :[¡3, 3] ¡.

R definida por f(x)= - 9 - x2 cujo gráfico é a semicircunferência inferior ao eixo 0x.

2.6.2 Função Periódica.

Definição 2.19.

Dizemos que uma função f : A ¡.

R é periódica quando existe um número real t 60, tal

= que para todo x .

D(f), temos: i) x + t .

D(f) ii) f(x + t)= f(x)

O número t denomina-se “um período de f”.

O menor período positivo t de f quando exista, denomina-se “o período de f”, e neste caso dizemos que f é periódica de período t.

Exemplo 2.64.

A função mantiza f : R ¡.

R definida por f(x)= x¡.

x .

é periódica de período t =1.

Observe que f(x +1) = (x + 1)¡.

x +1 k= x +1¡.

x k¡1= x¡.

x k= f(x) e não existe outro número t tal que 0 <t< 1 que seja o período de f, o gráfico da função mantiza ilustra-se na Figura (2.32).

¡x -
-
2.6.3 a) b) f(¡x) = f(¡x) = ¾¡x ¡2 0 2 -¾¡x ¡2 -
?¡y Função Par Figura 2.34: ?¡y Função Ímpar

Exemplo 2.66.

A função f(x)= x4, para x .

R é função par, pois para todo x .

R e ¡x .

R temos que

4

f(¡x)=(¡x)4 = x= f(x).

Exemplo 2.67.

A função f(x)= x5 , para x .

R é função ímpar, pois para todo x .

R e ¡x .

R temos que

5

f(¡x)=(¡x)5 = ¡x= ¡f(x).

Observação 2.8.

a) O gráfico de toda função ímpar é simétrica respeito do origem de coordenadas.

b) O gráfico de toda função par é simétrica respeito do eixo 0y.

Exemplo 2.68.

Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade:

a) f(x)=2x b) g(x)= x2 - 1 c) h(x)= x2 - 5x +6

Solução.

a) f(¡x) = 2(¡x)= ¡2x .

f(¡x)= ¡f(x), portanto f é ímpar.

b) g(x)= x2 - 1 .

g(¡x)=(¡x)2 - 1= x2 - 1 .

g(x)= g(¡x), portanto g é par.

c) h(x)= x2 - 5x +6 e h(¡x)=(¡x)2 - 5(¡x)+6= x2 +5x +6

Como h(x) 66

= h(¡x), então h não é par; temos também que ¡h(x)= h(¡x), logo h não é ímpar.

Por não ser par nem ímpar, concluímos que h é função sem paridade.